Question

【题目】在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．

（1）证明：BF∥平面ACD；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1， ，0），F（ ， ，1），

∴ =（ ， ，0）

又∵ =（0，0，2）为平面ACD的一个法向量

且 =0

∴BF∥平面ACD

（2）解：设平面BCE的法向量为 =（x，y，z），

则 ⊥ ，且 ⊥ ，

由 =（1， ，1）， =（﹣1， ，2）得 ，

不妨设y= ，则 =（1， ，2）

又∵ =（0，0，2）为平面ACD的一个法向量

∴所求角θ满足cosθ=

∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为

（3）解：由已知G点坐标为（1，0，0），

∴ =（﹣1，0，﹣1），

由（2）平面BCE的法向量为 =（1， ，2）

∴所求距离d=| |= ．

【解析】（1）建立空间坐标系，求出直线BF的方向向量和平面ACD的法向量，根据两个向量垂直可得线面平行；（2）分别求出平面BCD与平面ACD的法向量，代入向量夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，进而可得二面角的大小（3）求出BG的方向向量的坐标，进而根据公式可得点G到平面BCE的距离．