Question

14．若函数f（x）=$\frac{x+a}{{e}^{x}}$在区间（-∞，2）上为单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，+∞）
• B． （0，e]
• C． （-∞，-1]
• D． （-∞，-e）

Answer 1

分析 根据题意得出f′（x）＞0在区间（-∞，2）上恒成立，化为1-x-a＞0在区间（-∞，2）上恒成立，求出a的取值范围即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x+a}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x+a{）e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-x-a}{{e}^{x}}$＞0在区间（-∞，2）上恒成立，
即1-x-a＞0在区间（-∞，2）上恒成立，
∴a＜1-x在区间（-∞，2）上恒成立；
又在区间（-∞，2）上1-x＞-1，
∴实数a的取值范围是a≤-1．
故选：C．

点评 本题考查了利用函数的导数判断函数的真增减性问题，也考查了不等式的恒成立问题，是基础题目．