Question

在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB=90°，EF∥BC，AC=BC=

2

，AE=EC=1．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求三棱锥D-ACF的体积．

Answer 1

分析：（I）根据面面垂直的性质定理，证出BC⊥平面ACE，可得AE⊥BC．利用勾股定理的逆定理得出AE⊥EC，结合线面垂直判定定理，得到AE⊥平面BCEF；
（II）根据（I）的结论和面面垂直性质定理，证出EG⊥平面ABCD，结合FE∥平面ABCD得到EG就是F-ACD的高，最后利用三棱锥的体积公式算出三棱锥F-ACD的体积，即得三棱锥D-ACF的体积．

解答：解：（I）∵平面ACE⊥平面ABCD，平面ACE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，BC⊥AC
∴BC⊥平面ACE，结合AE?平面ACE，得AE⊥BC
∵△AEC中，AE²+EC²=2=AC²
∴∠AEC=90°，即AE⊥EC
∵BC∩EC=C，∴AE⊥平面BCEF；
（II）设AC中点为G，连接EG，
∵AE=CE，G为AC中点，∴EG⊥AC
由（I）可得BC⊥平面ACE，得BC⊥EG
∵BC、AC是平面ABCD内的相交直线
∴EG⊥平面ABCD，
∵EF∥BC，EF?平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，可得F到平面ABCD的距离等于E到平面ABCD的距离
由此可得EG是三棱锥F-ACD的高
∵△ACD的面积S_△ACD=

1

2

×

2

×

2

=1，等腰Rt△ACE中，EG=

1

2

AC=

2

2

∴三棱锥F-ACD的体积V_F-ACD=

1

3

S_△ACD×EG=

1

3

×1×

2

2

=

2

6

由此可得：三棱锥D-ACF的体积V=V_F-ACD=

2

6

．

点评：本题给出特殊几何体，求证线面垂直并求锥体体积．着重考查了空间线面垂直、线面平行的判定与性质，面面垂直的性质定理和锥体公式等知识，属于中档题．