Question

令f（n）=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*），如果对k（k∈N^*）满足f（1）f（2）…f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2007]内所有“好数”的和M是

2026

．

Answer 1

分析：先利用换底公式与叠乘法把f（1）f（2）…f（k）化为log₂（k+2），再根据f（1）f（2）…f（k）为整数，可得k=2ⁿ-2，进而由等比数列的前n项和公式可得结论．

解答：解：∵f（n）=log_（n+1）（n+2），
∴f（1）f（2）…f（k）=

log23

log22

×

log24

log23

×…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2）．
又f（1）f（2）…f（k）为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*）的形式，
即k=2ⁿ-2．
∴区间[1，2007]内所有“好数”的和
M=（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9=

4(1-29)

1-2

-18=2026．
故答案为2026．

点评：本题考查了新定义，考查了对数的运算性质，考查了叠乘法，是中档题．