Question

已知椭圆=1(a＞b＞0),F₁、F₂分别为其左、右焦点，P为椭圆上任意一点，θ=∠F₁PF₂，求θ的最大值及θ取得最大值时P点的坐标.

Answer 1

解:设P(x,y)，则=(c=).

∴|PF₁|=a+x.同理|PF₂|=a－x.

在△F₁PF₂中，cosθ=

=

=－1

=－1

=－1.

∵－a≤x≤a,

∴0≤x²≤a².

∴当x=0时，cosθ=－1最小.

∵t=cosθ在［0，π］上是减函数，

∴θ=arccos (－1)最大，此时P点的坐标为(0，±b).

点评:利用椭圆的第二定义可把椭圆上的点P到焦点的距离转化为以P点的横坐标(或纵坐标)为自变量的一次函数的函数值.本例的解法把θ的余弦表示为x的函数，根据x的范围求得了θ的最大值.例题的结论说明了椭圆的短轴端点对两焦点的张角最大.