Question

数列{a_n}满足a1=

1

6

，前n项和Sn=

n(n+1)

2

an
（1）写出a₂，a₃，a₄；
（2）猜出a_n的表达式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）根据Sn=

n(n+1)

2

an，利用递推公式，分别令n=2，3，4．求出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）求出的数列的前四项，从而总结出规律猜出a_n，然后利用数学归纳法进行证明即得．

解答：解：（1）令n=2，∵a1=

1

6

，∴S2=

2×(2+1)

2

a2，即a₁+a₂=3a₂．∴a2=

1

12

．
令n=3，得S3=

3×(3+1)

2

a3，即a₁+a₂+a₃=6a₃，∴a3=

1

20

．
令n=4，得S4=

4×(4+1)

2

a4，a₁+a₂+a₃+a₄=10a₄，∴a4=

1

30

．
（2）猜想an=

1

(n+1)(n+2)

，下面用数学归纳法给出证明．
①当n=1时，a1=

1

6

=

1

(1+1)(1+2)

结论成立．
②假设当n=k时，结论成立，即ak=

1

(k+1)(k+2)

，
则当n=k+1时，Sk=

k(k+1)

2

ak=

k(k+1)

2

•

1

(k+1)(k+2)

=

k

2(k+2)

，Sk+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1，
即Sk+ak+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1．
∴

k

2(k+2)

+ak+1=

(k+1)(k+2)

2

ak+1．
∴ak+1=

k 2(k+2)

(k+1)(k+2) 2 -1

=

k

k(k+3)(k+2)

=

1

(k+2)(k+3)

．
∴当n=k+1时结论成立．
由①②可知，对一切n∈N₊都有an=

1

(n+1)(n+2)

成立．

点评：此题主要考查数列递推式、数学归纳法．数学归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证．