Question

（2013•泰安一模）已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x且f（0）=1，f（1）=0．
（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；
（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；
（II）当a=0时，若mx+1≥-x²+4x+1得，由二次函数知识求得m=4，在证明当m=4时，2f（x）+4xe^x≥mx+1对任意x∈R恒成立，g（x）=（2x+2）e^x-4x-1，只需g（x）＞0即可．

解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由题意函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数y=ax²+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1

（II）当a=0时，f（x）=（1-x）e^x，假设存在实数m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立，

由mx+1≥-x²+4x+1得，x²+（m-4）x≥0恒成立，∴△=（m-4）²≤0，∴m=4．
下面证明：当m=4时，2f（x）+4xe^x≥mx+1对任意x∈R恒成立，即（2x+2）e^x≥4x+1对任意x∈R恒成立，
令g（x）=（2x+2）e^x-4x-1，g′（x）=（2x+4）e^x-4，∵g′（0）=0，
当x＞0时，2x+4＞4，e^x＞1，∴（2x+4）e^x＞4，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，

当x＜0时，2x+4＜4，0＜e^x＜1，∴（2x+4）e^x＜4，g′（x）＜0，g（x）在（-∞0，）上单调递减，

∴g（x）min=g（0）=1＞0，∴g（x）＞0，即（2x+2）e^x≥4x+1对任意x∈R恒成立．

综上所述，实数m=4使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，利用导数研究函数的单调性，此类题解题步骤一般是求导，研究单调性，确定最值，求最值，解题的关键是把函数在闭区间上递减转化为函数的导数在此区间上小于等于0恒成立，将单调递减的问题转化为不等式恒成立是此类题常用的转化思路，第二小题求恒成立参数的取值范围，本题考查了转化的思想，推理判断的能力，计算量大，难度较大，极易因为判断不准转化出错或计算出错，常作为高考的压轴题．