Question

求函数y=log₂（-x²+4x）的定义域，值域，单调递增区间．

Answer 1

分析：由-x²+4x＞0可求定义域，由-x²+4x=-（x-2）²+4≤4 可求函数的值域； 根据复合函数的单调性，要求函数数y=log₂（-x²+4x）的单调增区间，只要求t=-x²+4x在0＜t≤4的单调增区间

解答：解：由-x²+4x＞0，得0＜x＜4，（2分）
即定义域为x∈（0，4）．
由-x²+4x=-（x-2）²+4≤4；                          （4分）
可得y≤log₂4=2，故值域为y∈（-∞，2]．                   （6分）
设t=-x²+4x（0＜t≤4），
则当x∈（0，2]时，t为增函数；                              （8分）
又y=log₂t（0＜t≤4）也为增函数，（9分）
故函数的单调递增区间为（0，2]．                             （10分）

点评：本题主要考查了对数函数域二次函数复合而成的复合函数的定义域、值域、单调区间d的求解，解题的关键是灵活利用对数函数的定义域及复合函数的单调性．