Question

【题目】定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）值域为，函数在上不是有界函数,详见解析（2）

【解析】

（1）利用函数的单调性得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．，

（2）根据函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．

（1）当时，，

因为在上递增，所以，

即在的值域为，故不存在常数，使成立，

所以函数在上不是有界函数.

（2）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3

设t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3

当0时，1且2+a≤3得﹣2<a＜0

当或时，即a≤﹣2或a≥0时，得﹣5≤a≤﹣2或0≤a≤1，

综上有.