在数列{an}中,已知a1=-1,an+1=Sn+3n-1(n∈N*)
①求数列{an}的通项公式
②若bn=3n+(-1)n-1•λ•(an+3)(λ为非零常数),问是否存在整数λ使得对任意n∈N*都有bn+1>bn?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
分析:①由已知,得a
n=S
n-1+3n-4(n≥2),利用a
n与s
n的关系,两式相减,a
n+1+3=2(a
n+3)(n≥2),初步判断新数列{a
n+3}具有等比数列的性质,再考虑n=1的情形.
②写出数列{b
n}的通项,首先假设存在λ使得满足题意,然后计算化简b
n+1-b
n,再结合恒成立问题进行转化,将问题转化为:
(-1)n-1•λ<()n-1对任意的n∈N*恒成立.然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围,再结合为整数即可获得问题的解答.
解答:解:(1)由a
n+1=S
n+3n-1(n∈N
*)①
得a
n=S
n-1+3n-4(n≥2)②
①-②得a
n+1=2a
n+3(n≥2)
∴a
n+1+3=2(a
n+3)(n≥2)
又由②得 a
2=S
1+6-4=a
1+2=1
∴a
2+3=4
∴a
2+3=2(a
1+3)
∴a
n+1+3=2(a
n+3)(n≥1)
∴数列{a
n+3}是首项为2,公比为2的等比数列
∴a
n+3=2×2
n-1=2
n
∴数列{a
n}的 a
n=2
n-3(n≥1)
(2)由(1)可得 b
n=3
n+(-1)
n-1•λ•2
nb
n+1=3
n+1+(-1)
n•λ•2
n+1要使b
n+1>b
n恒成立,只需b
n+1-b
n=2•3
n-3λ•(-1)
n-1•2
n>0恒成立,
即
λ•(-1)n-1<()n-1恒成立
当n为奇数时,
λ<()n-1恒成立 而
()n-1的最小值为1∴λ<1(10分)
当n为偶数时,
λ>-()n-1恒成立 而
-()n-1最大值为
-∴
λ>-(12分)
即λ的取值范围是1>
λ>-,且λ≠1
又λ为整数.
∴存在λ=-1或0,使得对任意n∈N
*都有b
n+1>b
n.
点评:本题考查的是数列与不等式的综合题.在解答的过程当中充分体现了等比数列的定义、an与sn的关系、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律.同时务必注意化简计算的准确性.