分析 (Ⅰ)求出f(x)的分段函数,通过讨论x的范围,解不等式,求出集合M即可;(Ⅱ)作差,通过讨论a的范围,判断大小即可.
解答 解:(Ⅰ)$f(x)=|{x-\frac{1}{2}}|-|{x-\frac{3}{2}}|=\left\{\begin{array}{l}2-2x,x≤\frac{1}{2}\\ 1,\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\\ 2x-2,x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$,
由f(x)<2,得:
①当x<$\frac{1}{2}$时,2-2x<2,解得$0<x<\frac{1}{2}$,
②当$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$时,1<2恒成立
③当x>$\frac{3}{2}$时,2x-2<2,解得$\frac{3}{2}<x<2$
综上:0<x<2…(4分)
故M={x|0<x<2};
(Ⅱ)由(Ⅰ)知0<a<2,
因为a2-a+1-$\frac{1}{a}$=$\frac{(a-1){(a}^{2}+1)}{a}$,
当0<a<1时,$\frac{(a-1){(a}^{2}+1)}{a}$<0,所以为a2-a+1<$\frac{1}{a}$,
当a=1时,$\frac{(a-1){(a}^{2}+1)}{a}$=0,所以a2-a+1=$\frac{1}{a}$,
当1<a<2时,$\frac{(a-1){(a}^{2}+1)}{a}$>0,所以${a^2}-a+1>\frac{1}{a}$,
综上所述:当0<a<1时,${a^2}-a+1<\frac{1}{a}$
当a=1时,a2-a+1=$\frac{1}{a}$,
当1<a<2时,${a^2}-a+1>\frac{1}{a}$.
点评 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | $\frac{5}{2}$ | C. | 3 | D. | π |
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A. | 110° | B. | 120° | C. | 130° | D. | 140° |
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A. | “a+5是无理数”是“a是无理数”的充分不必要条件 | |
B. | “|a|>|b|”是“a2>b2”的必要不充分条件 | |
C. | 命题“若a∈M,则b∉M”的否命题是“若a∉M,则b∈M” | |
D. | 命题“若a、b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数,则a、b都不是奇数” |
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