Question

20．已知f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|，记f（x）≤2的解集为M．
（Ⅰ）求集合M
（Ⅱ）若a∈M，试比较a²-a+1与$\frac{1}{a}$的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的分段函数，通过讨论x的范围，解不等式，求出集合M即可；（Ⅱ）作差，通过讨论a的范围，判断大小即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=|{x-\frac{1}{2}}|-|{x-\frac{3}{2}}|=\left\{\begin{array}{l}2-2x，x≤\frac{1}{2}\\ 1，\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{2}\\ 2x-2，x≥\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
由f（x）＜2，得：
①当x＜$\frac{1}{2}$时，2-2x＜2，解得$0＜x＜\frac{1}{2}$，
②当$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$时，1＜2恒成立
③当x＞$\frac{3}{2}$时，2x-2＜2，解得$\frac{3}{2}＜x＜2$
综上：0＜x＜2…（4分）
故M={x|0＜x＜2}；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知0＜a＜2，
因为a²-a+1-$\frac{1}{a}$=$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$，
当0＜a＜1时，$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$＜0，所以为a²-a+1＜$\frac{1}{a}$，
当a=1时，$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$=0，所以a²-a+1=$\frac{1}{a}$，
当1＜a＜2时，$\frac{（a-1）{（a}^{2}+1）}{a}$＞0，所以${a^2}-a+1＞\frac{1}{a}$，
综上所述：当0＜a＜1时，${a^2}-a+1＜\frac{1}{a}$
当a=1时，a²-a+1=$\frac{1}{a}$，
当1＜a＜2时，${a^2}-a+1＞\frac{1}{a}$．

点评 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．