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14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1,过抛物线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3:1,则点A的坐标为(  )
A.(2,2$\sqrt{2}$)B.(4,4)C.(4,±4)D.(2,±2$\sqrt{2}$)

分析 设A($\frac{1}{4}$t2,t),根据抛物线的定义算出|AM|=$\frac{1}{4}$t2+1,而△AMF与△AOF的高相等,故面积比等于|AM|:|OF|=3,由此建立关于t的方程,解之得t=$±2\sqrt{2}$,即可得到点A的坐标.

解答 解:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),
准线l方程为x=-1.设A($\frac{1}{4}$t2,t),则
根据抛物线的定义,得|AM|=$\frac{1}{4}$t2+1,
∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3:1,
∴|AM|:|OF|=$\frac{1}{4}$t2+1=3,可得t2=8,解之得t=$±2\sqrt{2}$
∴点A的坐标为(2,$±2\sqrt{2}$).
故选D.

点评 本题给出抛物线中的三角形面积比,求点的坐标,着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识,属于中档题.

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