Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求实数a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出f（x）的定义域，再求出f′（x）=

x+a

x2

，从而得出函数的单调区间；
（Ⅱ）分别讨论①若a≥-1，②若a≤-e，③若-e＜a＜-1的情况，结合函数的单调性，得出函数的单调区间，从而求出a的值；
（Ⅲ）由题意得a＞xlnx-x³，令g（x）=xlnx-x³，得到h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，h′（x）=

1-6x2

x

，得出h（x）在（1，+∞）递减，从而g（x）在（1，+∞）递减，问题解决．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=

x+a

x2

，
∵a＞0，∴f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=

x+a

x2

，
①若a≥-1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上递增，
∴f（x）min=f（1）=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

（舍），
②若a≤-e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，
此时f（x）在[1，e]上递减，
∴f（x）min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，∴a=-

e

2

（舍），
③若-e＜a＜-1，令f′（x）=0，得x=-a，
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，-a）递减，
当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（-a，e）递增，
∴f（x）min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

，
综上a=-

e

；
（Ⅲ）∵f（x）＜x²，∴lnx-

a

x

＜x²，又x＞0，∴a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，h′（x）=

1-6x2

x

，
∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=-2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，
∴g（x）＜g（1）=-1，∴a≥-1时，f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了函数的最值问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．