Question

14．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2$\sqrt{6}$．
（1）求证：A′C⊥EF；
（2）求五棱锥A′-BCDFE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，设AC∩EF=H，证明EF⊥平面A′HC，即可证明A′C⊥EF；
（2）由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积．

解答 （1）证明：连接AC，设AC∩EF=H，连接A′H，则EF⊥AC，EF⊥A′H，
∵AC∩A′H=H，
∴EF⊥平面A′HC，
∵A′C?平面A′HC，
∴A′C⊥EF；
（2）解：由ABCD是正方形，AE=AF=4，
得H是EF的中点，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
从而平面A′HC⊥平面ABCD，
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，
则A′O⊥平面ABCD．
∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，
得到：A′H=2$\sqrt{2}$，CH=4$\sqrt{2}$，
∴cos∠A′HC=$\frac{8+32-24}{2×2\sqrt{2}×4\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴HO=A′Hcos∠A′HC=$\sqrt{2}$，A′O=$\sqrt{6}$，
∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=$\frac{1}{3}×（{6}^{2}-\frac{1}{2}×4×4）×\sqrt{6}$=$\frac{28\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查五棱锥的体积的求法，考查直线与平面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．