Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥4）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得a_k=a_i+a_j成立．
（Ⅰ）分别判断数集{1，2，4，6}与{1，3，4，7}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）求证：a₄≤2a₁+a₂+a₃；
（Ⅲ）若a_n=72，求n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据性质P直接验证即可．
（Ⅱ）由于集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，于是对a₄而言，存在a_i，a_j∈{a₁，a₂，…，a_n}，使得 a₄=a_i+a_j，可得a₄≤2a₃，同理可得a₃≤2a₂，a₂≤2a₁，进而可得结论．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a₂≤2a₁，a₃≤2a₂…，得a₂≤2，…，a₇≤64＜72，所以n≥8．按照性质P去构造数集A即可．

解答：解：（Ⅰ）因为2=1+1，4=2+2，6=2+4，所以{1，2，4，6}具有性质P．
因为不存在a_i，a_j∈{1，3，4，7}，使得3=a_i+a_j．
所以{1，3，4，7}不具有性质P．
（Ⅱ）因为集合A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，
所以对a₄而言，存在a_i，a_j∈{a₁，a₂，…，a_n}，使得 a₄=a_i+a_j
又因为1=a₁＜a₂＜a₃＜a₄…＜a_n，n≥4
所以a_i，a_j≤a₃，所以a₄=a_i+a_j≤2a₃．
同理可得a₃≤2a₂，a₂≤2a₁
将上述不等式相加得a₂+a₃+a₄≤2（a₁+a₂+a₃）
所以a₄≤2a₁+a₂+a₃．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知a₂≤2a₁，a₃≤2a₂…，
又a₁=1，所以a₂≤2，a₃≤4，a₄≤8，a₅≤16，a₆≤32，a₇≤64＜72
所以n≥8
构造数集A={1，2，4，5，9，18，36，72}（或A={1，2，3，6，9，18，36，72}），
经检验A具有性质P，故n的最小值为8．

点评：正确理解数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1=a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥4）具有性质P及会演绎推理是解题的关键．