Question

酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm³/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是

 

．

Answer 1

分析：作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案

解答：解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知

r

h

=

3

8

可得r=

3

8

h，此时水的体积为

1

3

×π×r²×h=

3π

64

h3
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有20t=

3π

64

h3，故有h=(

1280t

3π

)

1

3

h'=

1

3

×(

1280t

3π

)-

2

3

×

1280

3π

 
又当h=4时，有t=

3π

20

，故h=4时，h'=

1

3

×(

1280× 3π 20

3π

)-

2

3

×

1280

3π

 =

80

9π

当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是

80

9π

cm/s
故答案为

80

9π

cm/s

点评：本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．