Question

已知f（x）=4

3

sin

x

2

cos

x

2

-4sin2

x

2

+2．
（1）化简f（x）并求函数的周期
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=

3

，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=4sin（x+

π

6

），利用周期公式可求
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）为f（x）为最大值，从而可得，sin（A+

π

6

）=1，结合A的范围可求A，由

AB

•

AC

=bccosA=

1

2

bc，结合余弦定理及基本不等式可求最值

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

sinx-2(2sin2

x

2

-1)
=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

）（3分）
∴T=2π（5分）
（2）∵?x∈R，有f（x）≤f（A）
∴f（A）为f（x）为最大值
∴f（A）=4即sin（A+

π

6

）=1
∴0＜A＜π
∴A+

π

6

=

π

2

，A=

π

3

（8分）
∵

AB

•

AC

=bccosA=

1

2

bc
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

∴3=b²+c²-bc≥bc（当b=c时取等号）（10分）
∴bc≤3
∴

AB

•

AC

的最大值

3

2

，此时b=c=

3

（12分）

点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦定理及向量的数量积的应用．