Question

15．已知（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（m∈R⁺）展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112．
（1）求m、n的值；
（2）求（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（1-x）展开式中含x²项的系数．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项式系数的性质求得n=8，再利用通项公式求得m的值．
（2）由题意可得，（1+2$\sqrt{x}$）⁸（1-x）的展开式中含x²项的系数为${C}_{8}^{4}$•2⁴-${C}_{8}^{2}$•2²，计算求得结果．

解答 解：（1）根据（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（m∈R⁺）展开式的二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n=8．
设含x的项为第r+1项，则 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（m\sqrt{x}）}^{r}$，故展开式中含x项的系数为${C}_{8}^{2}$•m²=112，∴m=±2，
又m∈R⁺，
故m=2．
（2）由（1）知（1+m$\sqrt{x}$）ⁿ（1-x）=（1+2$\sqrt{x}$）⁸（1-x）的展开式中含x²项的系数为：
${C}_{8}^{4}$•2⁴-${C}_{8}^{2}$•2²=1008．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．