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    精英家教网如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC、现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）
    （1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
    （2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
    （3）当t∈（0，
    9
    4
    ）时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
    （4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．
    分析：（1）在y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10中，令y=0可求A，令x=0，可求B；由BC∥x轴，可得点C的纵坐标为-10．由-10=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10可求C，由y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10=
    1
    18
    （x-4）2-
    98
    9
    可求抛物线的顶点坐标
    （2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可求解．
    （3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜4.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．由QC∥OP，可得
    QD
    PD
    =
    CD
    OD
    =
    QC
    OP
    =
    t
    4t
    =
    1
    4
    ．同理QC∥AF，而
    QC
    AF
    =
    CE
    AE
    =
    CD
    OD
    =
    1
    4
    ，即
    t
    AF
    =
    1
    4
    ．代入三角形的面积公式S△PQF=
    1
    2
    PF•OB
    （4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．从而有PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100，FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100．分①若FP=FQ②若QP=QF，③若PQ=PF分别进行求解
    解答：精英家教网解：（1）在y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10中，令y=0
    得x2-8x-180=0．
    解得x=-10或x=18，
    ∴A（18，0）．（1分）
    在y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10中，令x=0，得y=-10．
    ∴B（0，-10）．（2分）
    ∵BC∥x轴，
    ∴点C的纵坐标为-10．
    由-10=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10得x=0或x=8．
    ∴C（8，-10）．（3分）
    ∵y=
    1
    18
    x2-
    4
    9
    x-10=
    1
    18
    （x-4）2-
    98
    9

    ∴抛物线的顶点坐标为（4，-
    98
    9
    ）．（4分）
    （2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可．
    ∵QC=t，PA=18-4t，
    ∴t=18-4t．
    解得t=
    18
    5
    ．（6分）
    （3）设点P运动了t秒，则OP=4t，QC=t，且0＜t＜2.5，说明点P在线段OA上，且不与点O，A重合．
    ∵QC∥OP，
    ∴
    QD
    PD
    =
    CD
    OD
    =
    QC
    OP
    =
    t
    4t
    =
    1
    4
    ．
    同理QC∥AF，
    ∴
    QC
    AF
    =
    CE
    AE
    =
    CD
    OD
    =
    1
    4
    ，即
    t
    AF
    =
    1
    4
    ．
    ∴AF=4t=OP．
    ∴PF=PA+AF=PA+OP=18．（8分）
    ∴S△PQF=
    1
    2
    PF•OB=
    1
    2
    ×18×10=90
    ∴△PQF的面积总为定值90．（9分）
    （4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
    ∴PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100，FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100，PF=18
    ①若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100．
    即25（t+2）2=224，（t+2）2=
    224
    25
    ．
    ∵0＜t＜4.5，
    ∴2＜t+2＜6.5，
    ∴t+2=
    224
    25
    =
    4
    		14
    5
    ．
    ∴t=
    4
    		14
    5
    -2．（11分）
    ②若QP=QF，则（5t-8）2+100=（5t+10）2+100．
    即（5t-8）2=（5t+10）2，无0≤t≤4.5的t满足．（12分）
    ③若PQ=PF，则（5t-8）2+100=182．
    即（5t-8）2=224，由于
    		224
    ≈15，又0≤5t≤22.5，
    ∴-8≤5t-8≤14.5，而14.52=（
    29
    2
    ）2=
    841
    4
    ＜224．
    故没有0＜t＜4.5的t满足此方程．（13分）
    注：也可解出t=
    8-4
    		14
    5
    ＜0或t=
    8+4
    		14
    5
    ＞4.5均不合题意，
    故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
    综上所述，当t=
    4
    		14
    5
    -2时，△PQF为等腰三角形．（14分）
    点评：本题主要考查了直线与抛物线的综合考查，要求考试能够利用基本知识进行一定的推理，要求考试具备一定的逻辑推理的能力，有很强的解决问题的能力．
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    =x
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    ．

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    ．

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