Question

定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．已知f（x）=ax²-|x|+2a-1
（1）若a=1，判断函数f（x）在[1，2]上是否具有“DK”性质，说明理由．
（2）若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出断函数f（x）在[1，2]上的最小值，利用定义，可以判断；
（2）对a进行讨论，确定函数在[1，2]上的单调性，求出最小值，即可求得结论．

解答：解：（1）∵a=1，x∈[1，2]
∴f(x)=x2-|x|+1=x2-x+1

，x∈[1，2]

，
∴f（x）_min=1≤1，
∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质．…（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1…（5分）
①若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a=0…（6分）
②若a≠0，则f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，函数的对称轴为直线x=

1

2a

当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1
满足函数f（x）具有“DK”性质，∴a＜0…（7分）
当0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，f（x）在区间[1，2]上是增函数f（x）_min=f（1）=3a-2，
若函数f（x）具有“DK”性质，则3a-2≤1
∴

1

2

＜a≤1…（8分）
当1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，f(x)min=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
若函数f（x）具有“DK”性质，则2a-

1

4a

-1≤1得

2- 6

4

≤a≤

2+ 6

4

∴

1

4

≤a≤

1

2

…（9分）
当

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，f（x）_min=f（2）=6a-3≤1，满足函数f（x）具有“DK”性质，∴0＜a＜

1

4

…（10分）
综上所述，若f（x）在[1，2]上具有“DK”性质，则a的取值范围为（-∞，1]．…（12分）

点评：本题考查新定义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．