【题目】已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是(为参数).
(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于,两点,且,求直线的倾斜角的值.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)利用三种方程的转化方法,将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程;
(2)先将直l的参数方程是(t是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利用勾股定理求出弦长,也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解,求出对应的参数t1,t2的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到α的三角方程,解方程得到α的值,要注意角α范围.
(1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,所以x2+y2=4x,
即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)将 代入圆的方程(x-2)2+y2=4,得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,
化简得t2-2tcos α-3=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,由根与系数的关系,得所以|AB|=|t1-t2|===,
故4cos2α=1,解得cos α=±.因为直线的倾斜角α∈[0,π),所以α=或.
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【题目】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0),且当x>1时,有f(x)>0.
①求证:f( )=f(m)﹣f(n);
②求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
③比较f( )与 的大小.
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【题目】市某机构为了调查该市市民对我国申办年足球世界杯的态度,随机选取了位市民进行调查,调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
男性市民 | |||
女性市民 | |||
合计 |
(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(2)利用(1)完成的表格数据回答下列问题:
(i)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关;
(ii)已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有位退休老人,其中位是教师,现从这位退休老人中随机抽取人,求至多有位老师的概率.
附:,其中.
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【题目】在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB= AC=2 ,AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.
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【题目】如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明:△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC的面积S= ADAE,求∠BAC的大小.
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【题目】2018年3月山东省高考改革实施方案发布:2020年夏季高考开始全省高考考生总成绩将由语文、数学、外语三门统一高考成绩和学生自主选择的普通高中学业水平等级性考试科目的成绩共同构成.省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.右面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.
(Ⅰ)请根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表:
赞成 | 不赞成 | 合计 | |
城镇居民 | |||
农村居民 | |||
合计 |
(Ⅱ)试判断我们是否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”?.
【附】,其中.
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,圆C的方程为 (θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长度,直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m(m∈R).
(1)当m=3时,判断直线l与C的位置关系;
(2)当C上有且只有一点到直线l的距离等于 时,求C上到直线l距离为2 的点的坐标.
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【题目】某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系,随机抽取50名学生,得到如表的数据表:
倾向“平面几何选讲” | 倾向“坐标系与参数方程” | 倾向“不等式选讲” | 合计 | |
男生 | 16 | 4 | 6 | 26 |
女生 | 4 | 8 | 12 | 24 |
合计 | 20 | 12 | 18 | 50 |
(1)根据表中提供的数据,选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种,作为选课倾向的变量的取值,并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大;
附:K2= .
P(k2≤k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)在抽取的50名学生中,按照分层抽样的方法,从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人,记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
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