Question

1．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1中，弦长为2的弦的中点的轨迹方程为10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 首先对直线进行分类讨论（1）斜率不存在时（2）斜率存在时两种情况：然后重点对（2）进行分析，建立A、B与中点的坐标关系，求出直线AB的直线方程．进一步建立方程组，求出根和系数的关系式，以弦长为突破口建立等量关系，最后求出中点满足的关系式．

解答 解：（1）当直线AB的斜率不存在时，当弦长正好是椭圆的短轴时，AB=2，则中点M的轨迹是原点．
（2）当直线AB的斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）
则：x₁+x₂=2x₀  y₁+y₂=2y₀
利用点差法，可得直线AB的斜率为k=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$
进一步求得直线AB的直线方程为：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{2{y}_{0}}$（x-x₀）
联立椭圆得：（2y₀²+x₀²）x²-（2x₀³+4y₀²x₀）x+4x₀²y₀²x-x₀⁴=0
x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=$\frac{4{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{4}}{2{{y}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$ 
由于AB=2
则：$\sqrt{1+（\frac{-{x}_{0}}{2{y}_{0}}）^{2}}$|x₁-x₂|=2
经过化简得：10x₀⁴y₀²-8x₀²y₀⁴-3x₀⁶-8y₀⁴-4x₀²y₀²=0（-$\sqrt{2}$＜x₀＜$\sqrt{2}$）
即：10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）
由于原点满足上式
则：中点M的轨迹方程是：10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）．
故答案为：10x⁴y²-8x²y⁴-3x⁶-8y⁴-4x²y²=0（-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查的知识要点：直线与椭圆的位置关系，直线根据斜率的存在性的分类讨论，弦长公式的应用，根和系数的关系，及相关的运算问题．