Question

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=

1

a 2 n -1

(n∈N*)，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由于数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列，设该数列的首项为a₁，利用条件建立方程即可求解；
（II）由（I）可知a_n的式子，再有bn=

1

a 2 n -1

(n∈N*)，求出b_n的通项公式为：bn=

1

4

•

1

n(n+1)

，此通项公式为分式且分母属于等差数列的相邻两项，应选择裂项相消的求和方法．

解答：解：（I）设等差数列{a_n}的首项为a₁，因为a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列，所以有
         （a₃+1）²=（a₁+1）（a₇+1），即（a₁+5）²=（a₁+1）（a₁+13），
        解得：a₁=3，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（II）证明：由（I）知：a_n=2n+1，所以
      bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
所以Tn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

1

4

-

1

4(n+1)

＜

1

4

．

点评：此题考查了利用条件建立方程并求出方程，等差数列与等比数列的定义，裂项相消的求和方法．