Question

设f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1
对n≥2的一切自然数都成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析：先将f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）用f（n）表示，然后代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1，即可求出g（n）的解析式．

解答：解：由于f（1）=1，f（2）=1+

1

2

，f（3）=1+

1

2

+

1

3

，…，f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）
=（n-1）×1+（n-2）×

1

2

+（n-3）×

1

3

+…+[n-（n-2）]×

1

n-2

+[n-（n-1）]×

1

n-1

 
=n[1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

]-（n-1），
而g（n）f（n）-1=g（n）（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-1
故由等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1，
可得 n[1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

]-（n-1）=g（n）（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-1，
解得g（n）=

n( 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 n-1 )+2

1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n

=

n(1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n )+1

1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n

=n+

1

1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n

．
故存在g（n）满足条件，且通项公式为 g（n）=n+

1

1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 n

．

点评：本题主要考查数列的求和，以及存在性问题，同时考查了计算能力和转化能力，属于中档题．