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已知二次函数y=f(x)的图像与x轴交于A、B两点,且|AB|=4,它在y轴上的截距为-3.又对任意的都有f(x+1)=f(1-x).

(1)求二次函数的表达式;

(2)若二次函数的图像都在直线l:y=x+m的上方,求m的取值范围.

解:(1)∵f(x+1)=f(1-x)  又f(x)为二次函数

∴可设f(x)=a(x-1)2+n  

又当x=0时,y=-3  ∴a+n=-3

∴f(x)=a(x-1)2-a-3 

令f(x)=0得a(x-1)2=a+3

∴|AB|= 

又|AB|=4  ∴a=1

即f(x)=(x-1)2-4=x2-2x-3 

(2)由条件知x2-2x-3>x+m

即x2-3x-3-m>0对于x∈R恒成立

∴△=9+4(3+m)<0

即m<

∴m的取值范围是(-∞,).


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12
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