Question

甲乙两人进行掰手腕比赛，比赛规则规定三分钟为一局，三分钟内不分胜负为平局，当有一人赢3局就结束比赛，否则继续进行，根据以往经验，每次甲胜的概率为，乙胜的概率为，且每局比赛胜负互不受影响．
（Ⅰ）求比赛4局乙胜的概率；
（Ⅱ）求在2局比赛中甲的胜局数为ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，比赛进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行，求甲得7分的概率．

Answer 1

(I)；
(II) 分布列为：

	0	1	2
P

 
数学期望为1；
（Ⅲ）

解析试题分析：(I)4局乙胜,即4局中乙3胜，且第4局为胜，前3局赛果为乙胜2局平1局或乙胜2局甲胜1局，所求概率为，(II)甲的胜局数为ξ可取0,1,2，ξ取0包括输2局或平两局或1局输1局平，所以，ξ取1包括1赢1输或1赢1平，所以，ξ取2包括2次都赢，所以，数学期望；（Ⅲ）甲若得7分, 要进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢, 设比赛进行4局为事件A即为前3局要平1胜2,第4局胜,比赛进行5局为事件B即为前4局胜1平3或输1平1胜2,第5局胜,则,所以.
试题解析：由已知得甲赢的概率为,平的概率为,输的概率为,
乙赢的概率为,平的概率为,输的概率为, 
(I)4局乙胜,即4局中乙3胜，且第4局为胜 
所求的概率为 
(II) 取0,1,2 
  
  
分布列如下：

	0	1	2
P

 
（Ⅲ）甲若得7分, 要进行4局或5局比赛，且最后一局甲赢, 设比赛进行4局事件为A,比赛进行5局事件为B,则
,
所以 
考点：概率分布列和数学期望