Question

如图，在四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PC与平面PAB所成角的余弦值；
（3）当二面角B-PC-D为直二面角时，求PA的长．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证；
（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB与AC所成的角为θ，则θ可转化为

PB

与

AC

所成的角，代入公式cosθ=

| PB • AC |

| PB || AC |

可求；
（III）分别求平面PBC的法向量

m

=（-3，

3

，

6

t

），平面PDC的法向量

n

=（-3，

3

，

6

t

），由平面PBC⊥平面PDC可得

m

•

n

=0从而可求t即PA．

解答： 解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC；
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=

3

，取AB的中点E，连接PE，CE．
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，

则P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0），E（

1

2

，-

3

2

，0）
所以|

PE

|=

5

，|

EC

|=

7

，|

PC

|=4
设PE与EC所成的角为θ，则由余弦定理可得：cosθ=

PE2+EC2-PC2

2×PE×EC

=-

2 35

35

．
（III）由（II）知

BC

=（-1，

3

，0），设P（0，-

3

，t）（t＞0），
则

BP

=（-1，-

3

，t），
设平面PBC的法向量

m

=（x，y，z），
则

BC

•

m

=0，

BP

•

m

=0，
所以

-x+ 3 y=0 -x+ 3 y+tz=0

令y=

3

，则x=3，z=

6

t

，
平面PBC的法向量所以

m

=（-3，

3

，

6

t

），
同理平面PDC的法向量

n

=（-3，

3

，

6

t

），因为平面PBC⊥平面PDC，
所以

m

•

n

=0，即-6+

36

t2

=0，解得t=

6

，
所以PA=

6

．

点评：本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力