Question

【题目】已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）当x=2时，①求证：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；
（2）三棱锥D﹣FBC的体积是否可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）①证明：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH．如图．

∵AE=AD=2，且AE∥DH，AD∥EF，∠A= ．

∴四边形ADHE是正方形

∵EH=2

∴四边形EHGB是正方形

即：BH⊥EG（正方形对角线互为垂直）

∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，

∴EG⊥△BDH所在平面

即：BD⊥EG．

②解：以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，

EA为z轴，建立空间直角坐标系，

B（2，0，0），F（0，3，0），

D（0，2，2），C（2，4，0），

=（﹣2，3，0）， =（﹣2，2，2），

设平面BDF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=3，得 =（3，2，1），

又平面BCF的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = = ．

∴二面角D﹣BF﹣C的余弦值为

（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，

平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE平面AEFD．

∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，

∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，

故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x，

又∵S△BCF= BCBE= =8﹣2x．

∴三棱锥D﹣BCF的体积为V= = = ，

VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF

=

=

= ＞2V，

∴棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．

【解析】（1）①：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH，由已知得四边形ADHE是正方形，四边形EHGB是正方形，由此能证明BD⊥EG．②以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣BF﹣C的余弦值．（2）由已知得三棱锥D﹣BCF的体积为V= = = ，VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF= ＞2V，从而棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．