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已知椭圆C1的中心在原点,离心率为
4
5
,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M、N两点.
(I)求椭圆C1的标准方程;
(II)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程;
(III)若以MN为直径的圆与双曲线C2的左支有交点,求双曲线C2的离心率的取值范围.
分析:(I)先设椭圆C1的标准方程为
x2
a12
+
y2
b12
=1(a1b1>0)
,根据椭圆的几何列出方程即可求出各个系数,从而得出椭圆C1的标准方程;
(II)设双曲线的右焦点F2(c.0),将x=c代入双曲线方程,得M、N两点的纵坐标,得出|MN|=
2b2
a
,又以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,从而建立等式求出离心率,最后即得双曲线C2的标准方程;
(III)若以MN为直径的圆与双曲线C2的左支有交点,则圆的半径至少要取到a+c,即有a+c≤
b2
a
,两边同除以a2,即可求出双曲线C2的离心率的取值范围.
解答:解:(I)设椭圆C1的标准方程为
x2
a12
+
y2
b12
=1(a1b1>0)
,根据题意:
2a1=10,则a1=5.又e1=
c1
a1
=
4
5
,∴c1=4,b1=3
∴椭圆C1的标准方程为
x2
25
+
y2
9
=1

(II)设双曲线的右焦点F2(c.0),将x=c代入双曲线方程,得y=±
b2
a
,即为M、N两点的纵坐标,即|MN|=
2b2
a

∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,
∴a+c=
b2
a

即a2+ac=b2=c2-a2
整理,得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0,又e>1
∴e=2
又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,则c=4
∴a=2,b2=12
双曲线C2的标准方程为
x2
4
-
y2
12
=1

(III)若以MN为直径的圆与双曲线C2的左支有交点,
∴圆的半径至少要取到a+c,即有a+c≤
b2
a

两边同除以a2,得
e2-e-2≥0,又e>1
∴e≥2
故双曲线C2的离心率的取值范围为[2,+∞).
点评:本题考查圆锥曲线的综合问题,着重考查其标准方程和几何性质,待定系数法求圆锥曲线的方程,属于中档题.
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已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为e=
3
2
,点P为椭圆上一动点,点F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且△PF1F2面积的最大值为
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆短轴的上端点为A,点M为动点,且
1
5
|
F2A
|2
1
2
F2M
AM
AF1
OM
成等差数列,求动点M的轨迹C2的方程.

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5
3
,且经过点M(
3
3
2
)

(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)已知椭圆C2的长轴和短轴都分别是椭圆C1的长轴和短轴的m倍(m>1),中心在原点,焦点在y轴上.过点C(-1,0)的直线l与椭圆C2交于A、B两个不同的点,若
AC
=2
CB
,求△OAB的面积取得最大值时的直线的方程.

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(2010•济宁一模)已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为e=
3
2
,P
为椭圆上一动点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,且△PF1F2面积的最大值为
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆短轴的上端点为A、M为动点,且
1
5
|
F2A
|2
1
2
F2M
AM
AF1
OM
成等差数列,求动点M的轨迹C2的方程;
(3)过点M作C2的切线l交于C1与Q、R两点,求证:
OQ
OR
=0

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