Question

设点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与圆x²+y²=a²+b²的一个交点，F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，且|

PF1

|=

3

|

PF2

|，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3 +1

  2

• B、

  3

  +1
• C、

  3

• D、2

  3

Answer 1

分析：如图所示，利用圆的直径的性质可得PF₁⊥PF₂，∠F₁PF₂=90°．由于|

PF1

|=

3

|

PF2

|，设|PF₁|=m，|PF₂|=n．再利用双曲线的定义和勾股定理可得

m= 3 n m-n=2a m2+n2=(2c)2

，化为a2(4+2

3

)=c2．
即可得到双曲线的离心率e．

解答：解：如图所示，
由题意可得PF₁⊥PF₂，∴∠F₁PF₂=90°．
又∵|

PF1

|=

3

|

PF2

|，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n．
则

m= 3 n m-n=2a m2+n2=(2c)2

，化为a2(4+2

3

)=c2．
∴双曲线的离心率e=

c

a

=

4+2 3

=

3

+1．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了计算能力，属于基础题．