Question

(本小题满分15分)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；
(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1

Answer 1

解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，

∴两条曲线交点的坐标为(e²，e)．切线的斜率为k＝f′(e²)＝，
∴切线的方程为y－e＝ (x－e²)．
(2)由条件知h(x)＝－alnx(x>0)，
∴h′(x)＝－＝，
①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a²
∴当0<x<4a²时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a²)上单调递减；
当x>4a²时，h′(x)>0，h(x)在(4a²，＋∞)上单调递增．
∴x＝4a²是h(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．
∴最小值φ(a)＝h(4a²)＝2a－aln(4a²)＝2a[1－ln (2a)]．

解析