Question

（2013•郑州一模）已知函数f（x）=ln（1+x）的导函数是y′=

1

1+x

，函数f(x)=ln(1+x)-

ax

1-x

(a∈R)
（I）当a=1，-1＜x＜1时，求函数f（x）的最大值；
（II）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）a=1时求出导数f′（x），在（-1，1）内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得f（x）的单调性，由单调性可求得函数的最大值；
（II）求出函数的定义域、导数f′（x），分a≤0，a＞0两种情况进行讨论：①当a≤0时，由导数符号可求得单调区间；当a＞0时，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，进而转化为解二次不等式，注意相应二次方程两根的范围；

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=ln(1+x)-

x

1-x

，f′(x)=

1

1+x

-

1

(1-x)2

=

x(x-3)

(1+x)(1-x)2

，
当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，
所以函数f（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，1）上为减函数，
所以f_max（x）=f（0）=0，
所以当且仅当x=0时，函数f（x）的最大值为0．
（Ⅱ）由题意，函数的定义域为（-1，1）∪（1，+∞），f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

，
①当a≤0时，

1

1+x

＞0，

a

(1-x)2

≤0，所以f'（x）＞0，
则函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；
②当a＞0时，f′(x)=

1

1+x

-

a

(1-x)2

=

x2-(2+a)x+1-a

(1+x)(1-x)2

，
由f'（x）=0，得x²-（2+a）x+1-a=0，
此方程的两根x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

，
其中-1＜x₁＜1＜x₂，注意到（1+x）（1-x）²＞0，
所以f'（x）＞0?-1＜x＜x₁或x＞x₂，f'（x）＜0?x₁＜x＜1或1＜x＜x₂，
即函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
综上，当a≤0时，函数f（x）的增区间为（-1，1），（1，+∞），无减区间；
当a＞0时，函数f（x）的增区间为（-1，x₁），（x₂，+∞），减区间为（x₁，1），（1，x₂），
其中x1=

a+2- a2+8a

2

，x2=

a+2+ a2+8a

2

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值、研究函数的单调性，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．