Question

已知动点P到直线x=4的距离等于到定点F₁（1，0）的距离的2倍，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过F₁且斜率k=1的直线交上述轨迹于C、D两点，若A（2，0），求△ACD的面积S．

Answer 1

分析：（1）将已知条件动点P到直线x=4的距离等于到定点F₁（1，0）的距离的2倍，用坐标表示为|x-4|=2

(x-1)2+y2

，化简得到动点P（x，y）的轨迹方程．
（2）写出直线的方程，将直线方程代入椭圆的方程，利用韦达定理得到|y₁-y₂|，利用三角形的面积公式S△ACD=

1

2

|AF1|•|y1-y2|求出△ACD的面积S．

解答：解：（1）设动点P（x，y），由题设知|x-4|=2

(x-1)2+y2

，
化简得动点P（x，y）的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）过F₁（1，0）且斜率k=1的直线方程为y=x-1代入椭圆方程消去y，
得　7x²-8x-8=0． 
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则|y1-y2|=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 2

7

而S△ACD=

1

2

|AF1|•|y1-y2|=

1

2

×1×

12 2

7

=

6 2

7

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般思路是将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去一个未知数，利用韦达定理找突破口．