Question

某高校组织的自主招生考试，共有1000名同学参加笔试，成绩均介于60分到100分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分为4组：第1组[60，70），第2组[70，80），第3组[80，90），第4组[90，100]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在85分（含85分）以上的同学有面试资格．
（Ⅰ）估计所有参加笔试的1000名同学中，有面试资格的人数；
（Ⅱ）已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格，且甲的笔试比乙的高；面试时，要求每人回答两个问题，假设甲、乙两人对每一个问题答对的概率均为；若甲答对题的个数不少于乙，则甲比乙优先获得高考加分资格．求甲比乙优先获得高考加分资格的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由频率和等于1求出笔试成绩在[90，100]的频率，得到成绩在在85分（含85分）以上的同学的频率，用频率乘以1000得到有面试资格的人数；
（Ⅱ）用列举法写出甲、乙两人对每一个问题回答正确与错误的所有情况，查出甲答对题的个数不少于乙答对题个数的情况数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．
解答：解：（Ⅰ）设第i（i=1，2，3，4）组的频率为f_i，则由频率分布直方图知
f₄=1-（0.014+0.03+0.036）×10=0.2
所以成绩在85分（含85分）以上的同学的概率P≈f₃+f₄=0.018×10+0.2=0.38，
故这1000名同学中，取得面试资格的约有1000×0.38=380人．
（Ⅱ）设答对记为1，打错记为0，则所有可能的情况有：
甲₀₀乙₀₀，甲₀₀乙₁₀，甲₀₀乙₀₁，甲₀₀乙₁₁，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，
甲₁₀乙₁₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，甲₀₁乙₁₁，甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₁₀，
甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₁，共16个．
甲答对题的个数不少于乙的情况有：
甲₀₀乙₀₀，甲₁₀乙₀₀，甲₁₀乙₁₀，甲₁₀乙₀₁，甲₀₁乙₀₀，甲₀₁乙₁₀，甲₀₁乙₀₁，
甲₁₁乙₀₀，甲₁₁乙₀₁，甲₁₁乙₁₀，甲₁₁乙₁₁，共11个．
故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为．
点评：本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是做到列举时不重不漏，是基础题．