Question

15．己知曲线f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x²+ax-1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （3，$\frac{7}{2}$）
• C． （-∞，$\frac{7}{2}$]
• D． （0，3）

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，由题意可得2x²-2x+a-3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x²+ax-1的导数为f′（x）=2x²-2x+a，
由题意可得2x²-2x+a=3，即2x²-2x+a-3=0有两个不等的正根，
则△=4-8（a-3）＞0，x₁+x₂=1＞0，x₁x₂=$\frac{1}{2}$（a-3）＞0，
解得3＜a＜$\frac{7}{2}$．
故选B．

点评 本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．