Question

已知三个集合E＝{x|x²－3x＋2＝0}，F＝{x|x²－ax＋(a－1)＝0}，G＝{x|x²－3x＋b＝0}．问：同时满足FE，GE的实数a和b是否存在？若存在，求出a、b所有值的集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系，从而求得a、b的值． 　　解：(1)由已知，E＝{1，2}，又∵FE，∴F＝或{1}或{2}． 　　①当F＝时，即方程x2－ax＋(a－1)＝0无解．∴Δ＝a2－4(a－1)＜0，即(a－2)2＜0，矛盾． 　　∴F不可能为，即F≠． 　　②当F＝{1}时，即方程x2－ax＋(a－1)＝0有两相等的实根为1， 　　由根与系数的关系知 　　∴即a＝2时，FE． 　　③当F＝{2}时，即方程x2－ax＋(a－1)＝0有两相等的实根为2， 　　由根与系数的关系知∴ 　　∴a无解，即不存在a的值使FE． 　　综上，a＝2时，FE． 　　(2)当GE且E＝{1，2}，∴G＝或{1}或{2}或{1，2}． 　　①当G＝时，即方程x2－3x＋b＝0无解． 　　∴Δ＝9－4b＜0．∴b＞．此时GE． 　　②当G＝{1}时，即方程x2－3x＋b＝0有两相等的根为1． 　　由根与系数的关系知矛盾． 　　③当G＝{2}时，同理矛盾． 　　④当G＝{1，2}时，即方程x2－3x＋b＝0有两异根为1、2． 　　由根与系数的关系，知∴b＝2． 　　综上知b＝2或b＞时，GE． 　　综合(1)(2)知，同时满足FE，GE的a、b的值存在． 　　适合条件的a、b集合分别为{2}、{b|b＝2或b＞}．