Question

已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之．

Answer 1

解：（1）∵f（x）＞a²，∴x²+（a-3）x-3a＞0，
∴（x-3）（x+a）＞0对x∈[1，2]恒成立，
又∵x-3＜0恒成立，∴x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，
∴a＜-x，又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2．
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，
不妨设a=p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得：
①p+q+r=3，qr=a²-3a，
②p²+q²+r²=a²+（q+r）²-2pr=a²+（3-a）²-2（a²-3a）=9，
③p³+q³+r³=a³+（q³+r³）=a³+（q+r）[q²-qr+r²]=3a³-9a²+27．
设g（a）=3a³-9a²+27，求导得：g（a）=9a²-18a=9a（a-2），
当a∈[2，3]时，g（a）＞0，g（a）递增；当a∈[0，2]时，g（a）＜0，g（a）递减；
当a∈[-1，0]时，g（a）＞0，g（a）递增，
∴g（a）在[-1，3]上的最小值为min{g（-1），g（2）}=min{15，15}=15．
（3）由（2）得，
如果a∈（0，1），则，∴H（a）在（0，1）为递增函数，
易知H（a）∈（0，1），∴a₁∈（0，1）?a₂∈（0，1），a_n∈（0，1）?a_n+1∈（0，1），
又∵，
∴a_n+1＜a_n．
分析：（1）由f（x）＞a²，可得x²+（a-3）x-3a＞0，所以（x-3）（x+a）＞0对x∈[1，2]恒成立，又x-3＜0恒成立，可得x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，得出a＜-x，又-x∈[-2，-1]，即可求出a的取值范围；
（2）由△=（a-3）²-4（a²-3a）≥0得：-1≤a≤3，不妨设a=p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理讨论即可得出答案．
（3）由（2）得，通过求导数的方法即可求出函数的单调区间，再根据数列的知识即可求解．
点评：本题考查了函数的恒成立问题及数列的应用，难度较大，关键是掌握用导数求函数的单调区间．