Question

已知定义在R上的奇函数f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

Answer 1

分析：（1）由题意，函数在R上是奇函数，由于其在原点有定义故一定有f（0）=0，再结合f（-1）=-f（1），由此两方程即可求出a、b的值；
（2）本小题的不等式恒成立，故可由（1）解出的函数解析式求出函数的最值，将恒成立的不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

转化成 

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

对 m∈R恒成立，再由二次函数的性质研究此不等式组，解出参数K的取值范围；
（3）由题设条件函数是周期为2的奇函数，故可先研究其一个周期上的零点，再由周期性得出所有的零点，由于函数是奇函数易得f（0）=0，再由周期性的性质与奇函数的性质可得出

f(-1)=f(1) f(-1)=-f(1)

由此解得f（-1）=f（1）=0，由此知一个周期上的零点，再由周期性得出结论

解答：解：（1）由于f（x）为R上的奇函数，故 f（0）=0，得 b=1…（1分）
则 f(x)=

1-2x

2x+1+a

由 f（-1）=-f（1）得

1- 1 2

1+a

=-

1-2

4+a

，解得 a=2
∴

a=2 b=1

…（4分）
（2）由（1）f(x)=

1-2x

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由 2^x+1＞1知 0＜

1

2x+1

＜1
则 -

1

2

＜f(x)＜

1

2

…（6分）
要使-m2+(k+2)m-

3

2

＜f(x)＜m2+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立
则需且只需 

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

对 m∈R恒成立
即 

m2-(k+2)m+1≥0 m2+2km+k+2≥0

对 m∈R恒成立 …（8分）
只需 

△1=(k+2)2-4≤0 △2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0…（9分）
（3）当x∈（-1，1）时g(x)=f(x)-x=-

1

2

+

1

2x+1

-x
显然

1

2x+1

及-x均为减函数，故g（x）在（-1，1）上为减函数 …（11分）
由于g（0）=0，故在（-1，1）内g（x）=0有唯一根x=0
由于g（x）周期为2，由此有x∈（2k-1，2k+1）内有唯 一根x=2k（k∈N）（1）…（12分）
综合得x=2k（k∈N）为g（x）=0的根
又因为g（-1）=g（-1+2）=g（1）得-g（1）=g（1）
故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）（2）…（13分）
综合（1）（2）有g（x）=0的所有解为一切整数 …（14分）

点评：本题考查函数恒成立的问题，函数恒成立的问题由于其抽象，推理难度大，方法不易得出而使得解此类题比较困难，解此类题，理解题意，对题设中所给的恒成立的关系进行准确转化是解题的关键，本题考查了转化的思想，对探究意识要求较高，在高考试卷上多以压轴题的形式出现，由于此类题思维难度过大，新教材实验区已多年没有出现这样的题了