分析 (Ⅰ)求出函数的导数,根据f(1)=4,f′($\frac{1}{3}$)=0,得到关于a,b的方程组,解出即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可.
解答 解:(Ⅰ)∵f′(x)=(ax-1)(x-1),f(1)=4,f′($\frac{1}{3}$)=0,
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{3}-\frac{a+1}{2}+1+b=4}\\{\frac{a}{9}-\frac{a+1}{3}+1=0}\end{array}\right.$,
解得:a=3,b=4,
∴f(x)=x3-2x2+x+4;
(Ⅱ)由(Ⅰ)f′(x)=(ax-1)(x-1),
(1)0<a<1时,$\frac{1}{a}$>1,
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{a}$或x<1,
令f′(x)<0,解得:1<x<$\frac{1}{a}$,
故f(x)在(-∞,1)递增,在(1,$\frac{1}{a}$)递减,在($\frac{1}{a}$,+∞)递增,
(2)a=1时,f′(x)≥0,f(x)在R递增,
(3)a>1时,$\frac{1}{a}$<1,
令f′(x)>0,解得:x<$\frac{1}{a}$或x>1,
令f′(x)<0,解得:$\frac{1}{a}$<x<1,
故f(x)在(-∞,$\frac{1}{a}$)递增,在($\frac{1}{a}$,1)递减,在(1,+∞)递增.
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,是一道中档题.
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x | 3 | -2 | 4 | $\sqrt{3}$ |
y | $-2\sqrt{3}$ | 0 | -4 | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 7 |
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A. | 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1” | |
B. | “若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0,则xy≠0” | |
C. | 在△ABC中,A>B是cosA<cosB的必要不充分条件 | |
D. | 若p∧(¬q)为假,p∨(¬q)为真,则p,q同真或同假 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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