Question

经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80-2t（件），价格近似满足于（元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售量y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售量y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，由价格乘以销售量可得：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知①当0≤t≤10时y=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225
函数图象开口向下，对称轴为t=5，该函数在t∈[0，5]递增，在t∈（5，10]递减
∴y_max=1225（当t=5时取得），y_min=1200（当t=0或10时取得）
②当10＜t≤20时y=t²-90t+2000=（t-45）²-25
图象开口向上，对称轴为t=45，该函数在在t∈（10，20]递减，t=10时，y=1200，y_min=600（当t=20时取得）
由①②知y_max=1225（当t=5时取得），y_min=600（当t=20时取得）
点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．