Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PA⊥PB，AB=BC=2AD=2PA=2，
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求证：RS∥平面PAD
（Ⅲ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求三棱锥Q-PCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得AD⊥AB，PB⊥AD，又PB⊥PD，AD∩PD=D.由此能证明平面PAD⊥平面PBC．
（Ⅱ）取PB中点T，连接RT、ST，PB⊥RT，PB⊥ST，PB⊥平面RST，由此能证明RS∥平面PAD．
（Ⅲ）由已知得PQ⊥平面ABCD.PQ⊥AB，S_△CQD=

1

2

CD•DQ=

5

4

，由此能求出三棱锥Q-PCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD且相交于直线AB，
AD?平面ABCD，AD⊥AB，（4分），
∴AD⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴PB⊥AD，又PB⊥PD，AD∩PD=D.
∴PB⊥平面PAD．
∵PB?平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．
（Ⅱ）证明：取PB中点T，连接RT、ST，
∵RT∥PA，ST∥BC，且PB⊥PA，PB⊥BC，
∴PB⊥RT，PB⊥ST，
又RT∩ST=T，∴PB⊥平面RST，
又PB⊥平面PAD，∴平面RST∥平面PAD，
又RS?平面RST，∴RS∥平面PAD．（8分）
（Ⅲ）解：∵CD⊥平面PDQ，∴PQ⊥CD．

又PQ⊥AD，CD∩AD=D

，∴PQ⊥平面ABCD.
∴PQ⊥AB，
由已知得AQ=

1

2

，PQ=

3

2

，
∴DQ=

5

2

，又CD=

5

，CD⊥QD，
∴S_△CQD=

1

2

CD•DQ=

5

4

，
∴三棱锥Q-PCD的体积V=

1

3

S△CQD•PQ=

1

3

×

5

4

×

3

2

=

5 3

24

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．