Question

（2006•丰台区一模）已知函数f（x）=2^|x|-2，则f（x）是

偶

（填“奇”或“偶”）函数，不等式x[f（x）+f（-x）]＞0的解集是

{x|x＞1或-1＜x＜0}

．

Answer 1

分析：由题意可得f（-x）=f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以x[f（x）+f（-x）]=2xf（x）＞0，即xf（x）＞0，因为函数的解析式中含有绝对值所以分别讨论x≥0与x＜0两种情况，进而得到答案．

解答：解：因为函数f（x）=2^|x|-2，
所以f（-x）=f（x），所以函数f（x）是偶函数，
所以x[f（x）+f（-x）]=2xf（x）＞0，即xf（x）＞0，
因为函数f（x）=2^|x|-2，
所以当x≥0时不等式xf（x）＞0等价于2^|x|-2＞0，所以原不等式的解集为{x|x＞1}，
当x＜0时不等式xf（x）＞0等价于2^|x|-2＜0，所以原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}．
故答案为偶，{x|x＞1或-1＜x＜0}．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的奇偶性的判断，以及掌握含绝对值不等式的解法．