Question

（2011•江苏二模）一条船在如图所示的Y型河流中行驶，从A逆流行驶到B，再从B顺流行驶到C，AB间航程和BC间航程相等，水流的速度为3km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h）的平方成正比．
（1）当船在AB段、BC段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？
（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水中的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？

Answer 1

分析：设AB=BC=lkm，船在AB段，BC段静水中的速度分别为v₁km/h，v₂km/h，所用时间分别为t₁h，t₂h，比例系数为k，耗油量分别为S₁，S₂，总耗油量为S，其中k，l为常数，v₁＞3，v₂≥0
（1）t1=

l

v1-3

，t2=

l

v2+3

，表示出相应的耗油量，进而可求耗油量最小时，相应的速度；
（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，设v₁=v₂=v＞3，S(v)=S1+S2=kv2(t1+t2)=2kl

v2

v2-9

，求出导函数S′(v)=2kl

v2(v+3 3 )(v-3 3 )

(v2-9)2

，从而求出S（v）的最小值．

解答：解：设AB=BC=lkm，船在AB段，BC段静水中的速度分别为v₁km/h，v₂km/h，所用时间分别为t₁h，t₂h，比例系数为k，耗油量分别为S₁，S₂，总耗油量为S，其中k，l为常数，v₁＞3，v₂≥0
（1）t1=

l

v1-3

，t2=

l

v2+3

，
∴S1=k

v

2 1

t1=kl

v 2 1

v1-3

，S2=k

v

2 2

t2=kl

v 2 2

v2+3

∴v₂=0，（S₂）_min=0
S1=k

v

2 1

t1=kl

v 2 1

v1-3

=kl[(v1-3)+

9

v1-3

+6]≥kl(2

9

+6)=12kl
当且仅当v1-3=

9

v1-3

，v₁=6时，（S₁）_min=12kl，此时S最小
（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，设v₁=v₂=v＞3
S(v)=S1+S2=kv2(t1+t2)=2kl

v2

v2-9

S′(v)=2kl

v2(v+3 3 )(v-3 3 )

(v2-9)2

∴3＜v＜3

3

，S′(v)＜0；v＞3

3

，S′(v)＞0
∴v=3

3

时，S（v）取得最小值．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，考查导数知识的运用，有一定的综合性．