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    （2013•江西）设函数f(x)=
    1
    a
    x，0≤x≤a    		 
    1
    1-a
    (1-x)，    		a＜x≤1
    常数且a∈（0，1）．
    （1）当a=
    1
    2
    时，求f（f（
    1
    3
    ））；
    （2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；
    （3）对于（2）中x1，x2，设A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（a2，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上的最大值和最小值．
    分析：（1）当a=
    1
    2
    时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；
    （2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；
    （3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．
    解答：解：（1）当a=
    1
    2
    时，求f（
    1
    3
    ）=
    2
    3
    ，故f（f（
    1
    3
    ））=f（
    2
    3
    ）=2（1-
    2
    3
    ）=
    2
    3

    （2）f（f（x））=
    1
    a2
    x，0≤x≤a2
    1
    a(1-a)
    (a-x)，a2＜x≤a
    1
    (1-a)2
    (x-a)，a＜x≤a2-a+1
    1
    a(1-a)
    (1-x)，a2-a+1＜x≤1

    当0≤x≤a2时，由
    1
    a2
    x    =x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
    当a2＜x≤a时，由
    1
    (1-a)2
    (x-a)    =x，解得x=
    a
    -a2+a+1
    ∈(a2，a)
    因为f（
    a
    -a2+a+1
    ）=
    1
    a
    ×
    a
    -a2+a+1
    =
    1
    -a2+a+1
    ≠
    a
    -a2+a+1
    ，
    故x=
    a
    -a2+a+1
    是函数的二阶周期点；
    当a＜x≤a2-a+1时，由
    1
    (1-a)2
    (x-a)    =x，解得x=
    1
    2-a
    ∈（a，a2-a+1），因为f（
    1
    2-a
    ）=
    1
    2-a
    ，故得x=
    1
    2-a
    不是函数的二阶周期点；
    当a2-a+1＜x≤1时，由
    1
    a(1-a)
    (1-x)=x    ，解得x=
    1
    -a2+a+1
    ∈（a2-a+1，1），因为f（
    1
    -a2+a+1
    ）=
    a
    -a2+a+1
    ≠
    1
    -a2+a+1
    ，故x=
    1
    -a2+a+1
    是函数的二阶周期点；
    因此函数有两个二阶周期点，x1=
    a
    -a2+a+1
    ，x2=
    1
    -a2+a+1

    （3）由（2）得A（
    a
    -a2+a+1
    ，
    a
    -a2+a+1
    ），B（
    1
    -a2+a+1
    ，
    1
    -a2+a+1
    ）
    则s（a）=S△OCB-S△OCA=
    1
    2
    ×
    a2(1-a)
    -a2+a+1
    ，所以s′（a）=
    1
    2
    ×
    a(a3-2a2-2a+2)
    -a2+a+1
    ，
    因为a∈（
    1
    3
    ，
    1
    2
    ），有a2+a＜1，所以s′（a）=
    1
    2
    ×
    a(a3-2a2-2a+2)
    -a2+a+1
    =
    a[(a+1)(a-1)2+(1-a2-a)]
    (-a2+a+1)2
    ×
    1
    2
    ＞0（或令g（a）=a3-2a2-2a+2利用导数证明其符号为正亦可）
    s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上是增函数，
    故s（a）在区间[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]上的最小值为s（
    1
    3
    ）=
    1
    33
    ，最大值为s（
    1
    2
    ）=
    1
    20
    点评：本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．
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    2
    2
    ．

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    		3
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    a≥2
    a≥2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•江西）设
    e1
    ，
    e2
    为单位向量．且
    e1
    、
    e2
    的夹角为
    π
    3
    ，若
    a
    =
    e1
    +3
    e2
    ，
    b
    =2
    e1
    ，则向量
    a
    在
    b
    方向上的射影为
    5
    2
    5
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•江西）（坐标系与参数方程选做题）
    设曲线C的参数方程为
    x=t
    y=t2
    （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
    ρcos2θ-sinθ=0
    ρcos2θ-sinθ=0
    ．

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