Question

已知四棱锥，面,∥,,，,,为上一点,是平面与的交点.

（1）求证：∥；
（2）求证：面；
（3）求与面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）、（2）证明详见解析；（3）．

试题分析：（1）首先根据∥，可证明∥面，再利用线面平行的关系可证明∥；（2）考虑通过证明与（已知），而证明可通过证明面来证明；（3）考虑以DA，DC，DP为坐标建立空间直角坐标，通过求直线PC的方向向量与平面EFCD的法向量的夹角来处理．
试题解析：（1）∥ ,面,面，∴∥面，
又∵面面，
∴∥，∴∥．
（2）∵面，∴．
又，∴面，
∵面,∴．
又∵，∴面 ．
（3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
,
设由且∥可得
，解得，∴．
设为平面的一个法向量则有
，令，，∴ ，

∴与面所成角的正弦值为 .