Question

已知函数f（x）=ax²-2

4+2b-b2

x，g（x）=-

1-(x-a)2

（a，b∈R）
（1）当b=0时，若f（x）在（-∞，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对（a，b）：存在x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，g（x₀）是g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）当b=0时，f（x）=ax²-4x，讨论a的取值并结合二次函数的单调性，建立关于实数a的不等式即可解出实数a的取值范围；
（2）当a=0时，易得一次函数f（x）没有最大值，不符合题意．因此（x）为二次函数，可得a＜0，函数f（x）取最大值时对应的x=

4+2b-b2

a

，结合题意得到

4+2b-b2

a

=a是一个整数，化简得a²=

5-(b-1)2

，即可得出满足条件的整数只有a=-1，从而得到b=-1或3，得到满足条件的所有整数对（a，b）．

解答：解：（1）当b=0，时，f（x）=ax²-4x，
若a=0，f（x）=-4x，则f（x）在[2，+∞）上单调递减，不符题意，
故a≠0，要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，必须满足

a＞0 2 a ≥2

，解之得0＜a≤1
即实数a的取值范围是（0，1]；
（2）若a=0，f（x）=2

4+2b-b2

x，可得f（x）无最大值，故a≠0，
∴f（x）为二次函数，
要使f（x）有最大值，必须满足

a＜0 4+2b-b2≥0

，即a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
此时，x=x₀=

4+2b-b2

a

时，f（x）有最大值．
又∵g（x）取最小值时，x=x₀=a，
依题意，

4+2b-b2

a

=a∈Z，可得a²=

5-(b-1)2

，
∵a＜0且1-

5

≤b≤1+

5

，
∴0＜a2≤

5

，结合a为整数得a=-1，此时b=-1或b=3．
综上所述，满足条件的实数对（a，b）是：（-1，-1），（-1，3）．

点评：本题给出含有根号和字母参数的二次函数，讨论函数的单调性与值域．着重考查了二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识，属于中档题．