Question

1．某教育网站举行智力竞猜活动，某班N名学生参加了这项活动，竞猜成绩分成六组：第一组[1.5，5.5），第二组：[5.5，9.5），第三组[9.5，13.5），第四组[13.5，17.5），第五组[17.5，21.5），第六组[21.5，25.5]．得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若成绩在[1.5，5.5）内的频数为2，求N，a的值；
（Ⅱ）现从成绩在第四、五、六组的同学中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求恰有一人在第五组的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图求出第一组的频率为0.1，由此能求出a．
（Ⅱ）第四、五、六组分别有6，4，2，从而得到抽样比为$\frac{1}{2}$，从而第四组抽取3人，第五组抽取2人，第六组抽取1人，由此能求出从这6人中随机抽取2人进行座谈，恰有一人在第五组的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：
第一组的频率为0.1，∴$N=\frac{2}{0.1}$=20，
又由已知（0.025×3+0.05×2+a）×4=1，解得a=0.075．
（Ⅱ）第四、五、六组分别有6，4，2，
∵$\frac{6}{6+4+2}$=$\frac{1}{2}$，
∴第四组抽取的人数为6×$\frac{1}{2}$=3人，
第五组抽取的人数为4×$\frac{1}{2}$=2人，
第六组抽取的人数为2×$\frac{1}{2}$=1人，
设第四组抽取的三人为（A₁，A₂，A₃），第五组抽取的二人为（B₁，B₂），第六组抽取的人数为（C₁），
从这六人中随机选取2人，共有${C}_{6}^{2}=15$种情况，
其中恰有一人在第五组的情况有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），共8种情况，
∴恰有一人在第五组的概率为：P=$\frac{8}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．