Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长为2$\sqrt{3}$，焦距是短轴长的$\sqrt{2}$倍，斜率为1且通过第四象限的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，|AB|=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$．
（1）求椭圆的方程和直线l的方程；
（2）若抛物线y=x²上的点到直线l的距离为d，求d的最小值及取得最小值时点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用长轴长为2$\sqrt{3}$，焦距是短轴长的$\sqrt{2}$倍，求出a，b，即可求椭圆的方程；设直线l方程为y=x+b，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$整理消y可得4x²+6bx+3b²-3=0，利用弦长公式直线l的方程；
（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线y=x-$\frac{1}{2}$的距离d的关系式，即可求得d_min．然后求出坐标．

解答 解：（1）由题意，2a=2$\sqrt{3}$，2c=$\sqrt{2}$•2b，
∴a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
设直线l方程为y=x+b，代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$整理消y可得4x²+6bx+3b²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由韦达定理可得，
x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$b，x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}-3}{4}$；
故|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{9}{4}{b}^{2}-3{b}^{2}+3}$=$\frac{3\sqrt{10}}{4}$，∴b=±$\frac{1}{2}$，
∵直线通过第四象限，
∴直线l方程为y=x-$\frac{1}{2}$；
（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y²=x，
则点P到直线y=x-$\frac{1}{2}$的距离d=$\frac{|y-{y}^{2}+\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|-（y-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}}$≥$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
当且仅当y=$\frac{1}{2}$时，取“=”．
此时点P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．
即抛物线上的点P的坐标为P（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）时，点P到直线y=x-$\frac{1}{2}$的距离最短，最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题椭圆的方程和直线l的方程，考查考查抛物线的简单性质，考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．