Question

【题目】如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=CD=4，AC=4 ，CD=4 ，∠ACB=45°，E，F分别为MN的中点．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接E，F，

∵E，F分别为AC，CD的中点，∴EF∥AD，

又AD平面ADB，EF平面ADB，∴EF∥面ABD

（2）解：取BC中点G，过点G作BF的垂线GH，点H为垂足，

∵AB=4，AC=4 ，∠ACB=45°，

∴由AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos45°，得16=32+BC2﹣8BC，即BC=4．

∴AB2+BC2=AC2，即AB⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCD，且平面ABC∩平面BCD=BC，

∴AB⊥平面BCD，则EG⊥平面BCD，EG⊥BF，

又GH⊥BF，∴BF⊥平面EGH，则BF⊥EH，即∠EHG为二面角E﹣BF﹣C的平面角．

∵BD=4，BC=4，CD=4 ，∴BF= ．

则∠CBF=60°，∴GH=2× ．

Rt△EGH中， ．

【解析】（1）连接E，F，由E，F分别为AC，CD的中点，结合三角形中位线定理可得EF∥AD，再由线面平行的判定可得EF∥平面ABD；（2）由已知求解三角形可得AB⊥BC，结合△ABC和△BCD所在平面互相垂直可得AB⊥平面BCD，取BC中点G，过点G作BF的垂线GH，点H为垂足，则∠EHG为二面角E﹣BF﹣C的平面角，求解直角三角形得答案．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．