Question

（08年长郡中学一模文）（12分）如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°，再在面的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P-ABD与Q-CBD，∠APB＝90°．

（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；

（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；    

（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离；

Answer 1

解析：（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与

 

△QBD是全等等腰△．

取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，

从而BD⊥PQ．                            …………………………4分

　（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角，作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形．可得ME＝NE＝，PE＝QE＝，PQ＝MN＝，

∴　cos∠PEQ＝，即二面角为．……………………8分

  （Ⅲ）　由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则

 

∴　．

∴　．　　∴　．      ……………12分